En la geometría analítica, un concepto importante asociado con las rectas es el de pendiente. En otra entrada de este blog se ha mostrado la forma de calcular la pendiente de una recta (no vertical) cuando se conocen las coordenadas de dos puntos contenidos en ella. En esta entrada haremos una interpretación del resultado obtenido con la fórmula mencionada.
Empecemos reforzando la idea de que la pendiente de una recta es un indicador de la inclinación de esta recta con respecto a la horizontal. En la figura se muestra dos rectas L1 y L2, no verticales, con distinta inclinación.
Vista de izquierda a derecha, la recta L1 se asemeja a una “subida” y diremos que L1 se inclina hacia la derecha. Las rectas de este tipo, que parecen “acostarse” hacia el lado derecho, forman un ángulo agudo con la dirección positiva del eje horizontal y tienen pendiente positiva.
Vista de derecha a izquierda, la recta L2 se asemeja a una “bajada” y diremos que L2 se inclina hacia la izquierda. Las rectas de este tipo, que parecen “acostarse” hacia el lado izquierdo, forman un ángulo obtuso con la dirección positiva del eje horizontal y tienen pendiente negativa.
Así por ejemplo, cuando decimos que una recta L tiene pendiente 2/3, esta información permite hacernos una idea de la inclinación recta L. En este caso se trata de una recta que se asemeja a una “subida”, una recta inclinada hacia la derecha. Pero además este número fraccionario 2/3 nos indica otras cosas más. Si bien las pendientes no necesariamente se expresan con fracciones, esta representación facilita su interpretación. Vista como una fracción, una pendiente positiva indica la razón “ascenso/avance” y una pendiente negativa indica la razón “descenso/avance”. Así, de una recta con pendiente 3/4, decimos que un punto que sigue la trayectoria de la recta “asciende 3 unidades por cada 4 unidades que avanza”.
Imaginemos que estamos subiendo por una superficie inclinada, como cuando trepamos un cerro. En nuestro camino hacia la cima, nos desplazamos sobre una trayectoria inclinada la misma que es la resultante de dos desplazamientos uno horizontal y otro vertical. El desplazamiento horizontal lo relacionamos con el “avance” y el desplazamiento vertical con el “ascenso”. De esta manera, si la pendiente del cerro es 3/4, y teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, cuando nos desplazamos 5 metros por la trayectoria inclinada en nuestro camino hacia la cima, es como si hubiésemos “avanzado” 4 metros y “ascendido” 3 metros. Dicho de otro modo, recorrer 5 metros sobre la trayectoria inclinada equivale a recorrer 4 metros “hacia la derecha” y 3 metros “hacia arriba”.
Algo similar se puede decir en el caso de rectas con pendientes negativas. Si una recta tiene pendiente -5/12 significa que un punto que sigue la trayectoria de la recta “desciende 5 unidades por cada 12 unidades que avanza”.
Tomando el ejemplo anterior, ahora imaginemos que estamos bajando por una superficie inclinada. El desplazamiento horizontal lo relacionamos con el “avance” y el desplazamiento vertical con el “descenso”. De esta manera, si la pendiente de la superficie inclinada es -5/12, y de acuerdo con el teorema de Pitágoras, cuando nos desplazamos 13 metros por la superficie inclinada, es como si hubiésemos “avanzado” 12 metros y “descendido” 5 metros. Dicho de otro modo, recorrer 13 metros sobre esta superficie inclinada equivale a recorrer 12 metros “hacia la derecha” y 5 metros “hacia abajo”.
Debemos recalcar que interpretar la pendiente como la razón “ascenso/avance” o “descenso/avance” supone el recorrido de un punto sobre la recta al ir de izquierda a derecha. Si suponemos lo contrario, es decir el recorrido de un punto sobre la recta al ir de derecha a izquierda, la interpretación también sería la contraria.
Empezamos diciendo que la pendiente de la recta es una medida de la inclinación de la recta. Al conocer el valor de la pendiente podemos conocer que tan inclinada está la recta con respecto a la horizontal. Es decir, al conocer el valor de la pendiente podemos conocer el ángulo que forma la recta con la línea horizontal. Debido a esto la pendiente también es llamada coeficiente angular de la recta. Se conoce como ángulo de inclinación de la recta al ángulo (medido en sentido antihorario) formado por la dirección positiva del eje X y la recta considerada orientada hacia arriba. La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta.
El ángulo de inclinación puede tomar valores entre 0° y 180°. Una recta horizontal tiene un ángulo de inclinación de 0°, por lo que su pendiente es igual a cero (m = tan0°). Una recta vertical tiene un ángulo de inclinación de 90°, y dado que la tan90° no está definida, no podemos hablar de pendiente. La definición de pendiente supone el caso de una recta vertical. De acuerdo con la igualdad m = tanq, dado el ángulo de inclinación, podemos calcular la pendiente de la recta. Así por ejemplo, si el ángulo de inclinación de una recta es de 55° (q=55°), la pendiente de dicha recta estará dada por m = tan55°, lo que resulta m=1.428.
Si q representa el ángulo de inclinación de una recta L, la pendiente de esta recta L está dada por m = tan q
La siguiente tabla muestra los valores de la pendiente para distintos ángulos de inclinación:
q | m |
10° | 0.176 |
40° | 0.839 |
70° | 2.747 |
100° | -5.671 |
120° | -1.732 |
170° | -0.176 |
De manera recíproca, dada la pendiente, es posible calcular el ángulo de inclinación la pendiente de la recta.
La expresión anterior se lee como “arco tangente m” y significa que el ángulo de inclinación buscado (q) es aquél ángulo cuya tangente sea igual a “m”. Otra forma de escribir lo anterior es: q = tan-1(m)
Si m representa la pendiente de una recta L, el ángulo de inclinación de esta recta está dada por q = arctan(m)
Así por ejemplo, si una recta tiene pendiente 5/7, el ángulo de inclinación de dicha recta estará dada por q = tan-1(5/7) , lo que con la ayuda de la calculadora resulta q = 35.54°.
La siguiente tabla muestra los valores de los ángulos de inclinación para distintas pendientes:
m | q |
2/3 | 33.69° |
1 | 45° |
7/5 | 54.46° |
-3/8 | 159.44° |
| -1.73 | 120.03° |
-2.23 | 114.15° |
