Función cuadrática

En esta entrada se comparte una breve descripción acerca de la función cuadrática.
Puede descargar el documento aquí CUADRATICA

Ejercicios de porcentajes

En esta entrada se presenta un grupo de ejercicios del tema PORCENTAJES los mismos que recomiendo revisar y resolver como preparación para la práctica calificada de este tema.

Puede descargar el archivo aquí PORCENTAJES

Con respecto a la aplicación de VARIACIÓN PORCENTUAL puede consultar la entrada del mismo nombre en este blog.

Aplicaciones de la función lineal: Costo total, Ingreso y Utilidad

En esta entrada se comparte un documento donde se presenta una breve teoría y algunos ejercicios resueltos acerca de las funciones Costo total, Ingreso y Utilidad, las mismas que constituyen ejemplos de aplicación de las funciones lineales. 

Se incluye además un grupo de ejercicios propuestos para su estudio personal.  

Descargar aquí APLICACIONES

Análisis marginal

En economía, el uso de la derivada para aproximar el cambio que ocurre en la cantidad como resultado del incremento de la producción en una unidad se denomina análisis marginal.

En esta entrada encontrará tres ejercicios resueltos acerca del costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal.

Pueden descargar los ejercicios aquí MARGINAL

Factorización

En esta entrada se expone brevemente algunos casos de factorización de binomios y trinomios. De manera particular el método del aspa simple para expresiones cuadráticas completas. Se incluyen algunos ejercicios y links de videos en youtube para reforzar la teoría explicada en clase.

Pueden descargar documento aquí FACTORIZACION

Expresiones algebraicas

Uno de los objetivos del curso es que el estudiante adquiera seguridad y rapidez al operar expresiones algebraicas. En esta entrada se comparten 35 ejercicios de simplificación donde se incluyen el uso de la propiedad distributiva de la multiplicación y los productos notables básicos.

Descargar documento aquí EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Teoría de exponentes

En esta entrada se comparten dos documentos.

El primero es un resumen de las principales leyes de los exponentes y el segundo incluye un grupo de ejercicios para usar las leyes de exponentes

Pueden descargar los documentos en los siguientes enlaces:

TEORÍAEXPONENTES y

EJERCICIOSEXPONENTES

Límite de una función

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Russell sostenía que todo el cálculo diferencial e integral y, prácticamente toda la matemática superior, depende de los límites. En este tema se suelen presentar dos definiciones, una informal y otra formal del límite de una función. Los objetivos que se persiguen al desarrollar un curso de matemáticas para estudiantes de administración y negocios llevan a aligerar las definiciones, utilizando para ello un lenguaje simple pero sin sacrificar lo esencial del concepto.

En los documentos adjuntos se comparten una breve teoría de éste tema incluyendose algunos ejemplos del cálculo de límites, entre ellos los tienen la forma 0/0. También se comparte algunos ejercicios propuestos del límite de una función.

Pueden descargar los documentos aquí
TEORÍALIMITES y EJERCICIOSLIMITES   

Aplicaciones de la Función lineal

En esta entrada comparto algunos ejercicios propuestos de aplicaciones de la función lineal, básicamente referidos a funciones de Ingreso, Costo total y Utilidad. Los mismos que sugiero resuelvan e interpreten los resultados encontrados. Es necesario que, al estudiar funciones, las tratemos en todas sus formas: por medio de una descripción en palabras, de una tabla de valores, de una regla de correspondencia y por medio de una grafica. Así como pasar de una forma a otra.

Descargar archivo aquí APLICACIONES

También comparto un documento con preguntas resueltas referidas a Demanda y Oferta lineal.

Descargar archivo aquí DEMANDA-OFERTA

Función lineal

Hola chicos,

En esta entrada comparto el archivo de la presentación del tema Funciones - Función lineal desarrollado durante la última clase. También adjunto un archivo con 10 ejercicios que permiten reforzar lo trabajado en dicha clase.

Les recomiendo descargar este último archivo, resolver los ejercicios propuestos y de haber algunas dudas me las hacen saber para esclarecerlas durante la próxima sesión de clase.

Pueden descargar los archivos aquí: PPT y EJERCICIOS 

Matemática Básica: Tarea de variación porcentual

Hola chicos,

En esta entrada publico tres preguntas de aplicación que contribuyen a reforzar el tema de variación porcentual. Estas preguntas deberán presentarse debidamente resueltas en una hoja aparte al inicio de la próxima sesión de clase.

Descargar la tarea aquí TAREA

Variación porcentual

Un concepto importante en las matemáticas es el de variable. Decimos que algo es variable cuando su valor cambia a través del tiempo. La edad de una persona y el número de habitantes de la ciudad de Lima son dos ejemplos de variables. Sus valores no siempre son los mismos, ellos varían continuamente. Al analizar una determinada variable en un intervalo de tiempo, siempre es posible reconocer el valor inicial y el valor final que ella toma en dicho intervalo. La variación de la variable está dada por la diferencia del valor final y el valor inicial.

Esta variación nos indica si dicha variable aumentó o disminuyó en valor. Si la variación resulta positiva significa que la variable aumentó en valor, si la variación resulta negativa significa que la variable disminuyó en valor.

Así por ejemplo, la siguiente tabla muestra los precios por onza de Oro y Plata según lo reportado por la Bolsa de Nueva York al cierre de sus operaciones los días 26 y 27 de agosto de 2010[1].

	Precio ($/onza)
	26/08/10	27/08/10
Oro	1236.30	1238.10
Plata	18.93	19.11

[1] Tomado desde http://www.kitco.com/charts/livegold.html y http://www.kitco.com/images/live/silver.gif el 28/08/10.

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Para nuestro ejemplo - y tal como se observa en la tabla - el precio de la onza de Oro aumentó, y este aumento fue de $1.80. De igual modo se determina que el precio de la onza de Plata también aumentó, aunque en este caso el aumento fue de $0.18.

Si bien la variación de la variable es un indicador, este resulta débil al hacer comparaciones entre distintas variables o de la misma variable en distintos periodos. Los resultados de las variaciones del precio de la onza de Oro ($1.80) y Plata ($0.18) nos llevaría a afirmar que, en el periodo comprendido entre el 26 y 27 de agosto de 2010, el precio de la onza de Oro tuvo un mayor aumento que el precio de la onza de Plata. Sin embargo este aumento no tiene el mismo significado, peso o importancia relativa en cada caso. No significa lo mismo aumentar $1.80 a partir de un precio inicial de $1236.30 que aumentar $0.18 a partir de un precio inicial de $18.93.

La variación de una variable, en tanto diferencia de sus valores finales e iniciales, es un indicador débil para comparar el comportamiento de distintas variables en un mismo periodo. Es más real utilizar como indicador la razón de la variación con respecto al valor inicial....

Puede descargar el documento completo aquí VARPORC

Matemática Básica: porcentajes

Hola chicos,

En esta entrada pueden descargar algunos ejercicios del tema de porcentajes como complemento a los incluídos en su módulo. Les recomienda bajar el archivo adjunto y resolver los ejercicios.

En la siguiente clase haremos la revisión de aquellos que les parecieron más complicados.

Pueden descargar el documento aquí PORCENTAJES

Pendiente de una recta: Interpretación

En la geometría analítica, un concepto importante asociado con las rectas es el de pendiente. En otra entrada de este blog se ha mostrado la forma de calcular la pendiente de una recta (no vertical) cuando se conocen las coordenadas de dos puntos contenidos en ella. En esta entrada haremos una interpretación del resultado obtenido con la fórmula mencionada.

Empecemos reforzando la idea de que la pendiente de una recta es un indicador de la inclinación de esta recta con respecto a la horizontal. En la figura se muestra dos rectas L1 y L2, no verticales, con distinta inclinación.

Vista de izquierda a derecha, la recta L1 se asemeja a una “subida” y diremos que L1 se inclina hacia la derecha. Las rectas de este tipo, que parecen “acostarse” hacia el lado derecho, forman un ángulo agudo con la dirección positiva del eje horizontal y tienen pendiente positiva.

Vista de derecha a izquierda, la recta L2 se asemeja a una “bajada” y diremos que L2 se inclina hacia la izquierda. Las rectas de este tipo, que parecen “acostarse” hacia el lado izquierdo, forman un ángulo obtuso con la dirección positiva del eje horizontal y tienen pendiente negativa.

Así por ejemplo, cuando decimos que una recta L tiene pendiente 2/3, esta información permite hacernos una idea de la inclinación recta L. En este caso se trata de una recta que se asemeja a una “subida”, una recta inclinada hacia la derecha. Pero además este número fraccionario 2/3 nos indica otras cosas más. Si bien las pendientes no necesariamente se expresan con fracciones, esta representación facilita su interpretación. Vista como una fracción, una pendiente positiva indica la razón “ascenso/avance” y una pendiente negativa indica la razón “descenso/avance”. Así, de una recta con pendiente 3/4, decimos que un punto que sigue la trayectoria de la recta “asciende 3 unidades por cada 4 unidades que avanza”.

Imaginemos que estamos subiendo por una superficie inclinada, como cuando trepamos un cerro. En nuestro camino hacia la cima, nos desplazamos sobre una trayectoria inclinada la misma que es la resultante de dos desplazamientos uno horizontal y otro vertical. El desplazamiento horizontal lo relacionamos con el “avance” y el desplazamiento vertical con el “ascenso”. De esta manera, si la pendiente del cerro es 3/4, y teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, cuando nos desplazamos 5 metros por la trayectoria inclinada en nuestro camino hacia la cima, es como si hubiésemos “avanzado” 4 metros y “ascendido” 3 metros. Dicho de otro modo, recorrer 5 metros sobre la trayectoria inclinada equivale a recorrer 4 metros “hacia la derecha” y 3 metros “hacia arriba”.

Algo similar se puede decir en el caso de rectas con pendientes negativas. Si una recta tiene pendiente -5/12 significa que un punto que sigue la trayectoria de la recta “desciende 5 unidades por cada 12 unidades que avanza”.

Tomando el ejemplo anterior, ahora imaginemos que estamos bajando por una superficie inclinada. El desplazamiento horizontal lo relacionamos con el “avance” y el desplazamiento vertical con el “descenso”. De esta manera, si la pendiente de la superficie inclinada es -5/12, y de acuerdo con el teorema de Pitágoras, cuando nos desplazamos 13 metros por la superficie inclinada, es como si hubiésemos “avanzado” 12 metros y “descendido” 5 metros. Dicho de otro modo, recorrer 13 metros sobre esta superficie inclinada equivale a recorrer 12 metros “hacia la derecha” y 5 metros “hacia abajo”.

Debemos recalcar que interpretar la pendiente como la razón “ascenso/avance” o “descenso/avance” supone el recorrido de un punto sobre la recta al ir de izquierda a derecha. Si suponemos lo contrario, es decir el recorrido de un punto sobre la recta al ir de derecha a izquierda, la interpretación también sería la contraria.

Empezamos diciendo que la pendiente de la recta es una medida de la inclinación de la recta. Al conocer el valor de la pendiente podemos conocer que tan inclinada está la recta con respecto a la horizontal. Es decir, al conocer el valor de la pendiente podemos conocer el ángulo que forma la recta con la línea horizontal. Debido a esto la pendiente también es llamada coeficiente angular de la recta. Se conoce como ángulo de inclinación de la recta al ángulo (medido en sentido antihorario) formado por la dirección positiva del eje X y la recta considerada orientada hacia arriba. La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta.

El ángulo de inclinación puede tomar valores entre 0° y 180°. Una recta horizontal tiene un ángulo de inclinación de 0°, por lo que su pendiente es igual a cero (m = tan0°). Una recta vertical tiene un ángulo de inclinación de 90°, y dado que la tan90° no está definida, no podemos hablar de pendiente. La definición de pendiente supone el caso de una recta vertical. De acuerdo con la igualdad m = tanq, dado el ángulo de inclinación, podemos calcular la pendiente de la recta. Así por ejemplo, si el ángulo de inclinación de una recta es de 55° (q=55°), la pendiente de dicha recta estará dada por m = tan55°, lo que resulta m=1.428.

Si q representa el ángulo de inclinación de una recta L, la pendiente de esta recta L está dada por m = tan q

La siguiente tabla muestra los valores de la pendiente para distintos ángulos de inclinación:

q	m
10°	0.176
40°	0.839
70°	2.747
100°	-5.671
120°	-1.732
170°	-0.176

De manera recíproca, dada la pendiente, es posible calcular el ángulo de inclinación la pendiente de la recta.
La expresión anterior se lee como “arco tangente m” y significa que el ángulo de inclinación buscado (q) es aquél ángulo cuya tangente sea igual a “m”. Otra forma de escribir lo anterior es:  q = tan^-1(m)

Si m  representa la pendiente de una recta L, el ángulo de inclinación de esta recta está dada por q = arctan(m)

Así por ejemplo, si una recta tiene pendiente 5/7, el ángulo de inclinación de dicha recta estará dada por q = tan^-1(5/7) , lo que con la ayuda de la calculadora resulta q = 35.54°.

La siguiente tabla muestra los valores de los ángulos de inclinación para distintas pendientes:

m	q
2/3	33.69°
1	45°
7/5	54.46°
-3/8	159.44°
-1.73	120.03°
-2.23	114.15°

Abscisa y ordenada en el origen

En un plano cartesiano, la grafica de toda recta oblicua - recta inclinada con respecto a la horizontal - siempre corta (intercepta) a los ejes coordenados. La siguiente figura muestra la grafica de una recta L, la misma que corta a los ejes coordenados en los puntos A y B. 

Nótese que la recta corta al eje horizontal (eje X) en un punto (A) que está a 3 unidades del origen de coordenadas y corta al eje vertical (eje Y) en un punto (B) que está a 2 unidades del origen de coordenadas.

De acuerdo con lo anterior, la abscisa del punto A es 3 y la ordenada del punto B es 2.

El punto A es un punto del eje horizontal por lo que su ordenada es cero. Luego, las coordenadas del punto A, es decir del punto de corte de la recta L con el eje horizontal, están dadas por A(3,0). 

El punto B es un punto del eje vertical por lo que su abscisa es cero. Luego, las coordenadas del punto B, es decir del punto de corte de la recta L con el eje vertical, están dadas por B(0,2).

Definimos abscisa en el origen como la abscisa del punto de corte de la recta con el eje horizontal. En este caso, la abscisa en el origen de la recta L es x=3.

Definimos ordenada en el origen como la ordenada del punto de corte de la recta con el eje vertical. En este caso, la ordenada en el origen de la recta L es y=2.

Si conocemos la ecuación de la recta, es posible encontrar la abscisa en el origen, la ordenada en el origen y - por lo tanto - las coordenadas de los puntos de corte con los ejes coordenados.

Así por ejemplo, la recta L mostrada tiene por ecuación

L:    2x + 3y - 6 = 0

Para encontrar la abscisa en el origen, reemplazamos y=0 en dicha ecuación:

          2x + 3(0) - 6 = 0

          2x - 6 = 0

          2x = 6

          x = 3

Luego:     La abscisa en el origen es x = 3

                 Las coordenadas del punto de corte con el eje horizontal son (3,0)

Para encontrar la ordenada en el origen, reemplazamos x=0 en dicha ecuación:

          2(0) + 3y - 6 = 0

          3y - 6 = 0

          3y = 6

          y = 2

Luego:     La ordenada en el origen es y = 2

                 Las coordenadas del punto de corte con el eje vertical son (0,2)

Tenga en cuenta que existe una estrecha relación entre la abscisa en el origen y el punto de corte con el eje horizontal, pero no son ni significan lo mismo. Lo mismo decimos de la ordenada en el origen y el punto de corte con el eje vertical.

Análisis matemático: 1era práctica calificada

Hola chicos,

Tal como se les informó en clase, durante la semana del 28 de febrero al 04 de marzo tomaremos la primera práctica calificada.

Los contenidos de esta práctica comprenden:

- Pendiente de una recta

- Ecuación de la recta

- Grafica de una recta dada su ecuación

- Abscisa y ordenada en el origen 

- Puntos de corte de una recta con los ejes coordenados

- Punto de corte entre dos rectas

Se les recomienda revisar la teoría y los ejercicios desarrollados en las sesiones de clase.

Pueden complementar con lo descrito en otras entradas de este blog y la resolución de los ejercicios incluidos en el material adjunto.

Descargar material aquí EJERCICIOS

Análisis matemático: Ejercicios de ecuación de la recta

Descargar ejercicios aquí  RECTA

Ecuación de la recta

En la primera parte hemos estudiado como trazar la grafica de una ecuación. La ecuación se daba como dato y en el caso de las rectas era de la forma y=mx+b . En esta parte estudiaremos como llegar a dicha ecuación.

Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos:

-      Un punto de paso de la recta

-      La pendiente de la recta

Conocidos estos elementos podemos construir la ecuación de la recta. La ecuación de la recta L cuya pendiente es "m" y que pasa por el punto Po(xo,yo) está dada por

A esta forma de ecuación de L se le conoce como ecuación punto-pendiente de la recta.

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la recta de pendiente 2/7 que pasa por el punto (3,-1).

Resolución

 

A partir de la forma punto-pendiente podemos presentar la recta en otras formas. Así por ejemplo operando la ecuación anterior tenemos:

Esta última forma de presentar la recta recibe el nombre de ecuación general de la recta. La ecuación de una recta está en su forma general cuando la presentamos igualada a cero. Si a partir del resultado anterior (o desde el inicio) buscamos despejar la variable y tenemos:

Si bien existen otras formas de presentar la recta las anteriores son las más comunes. Por lo general planteamos la ecuación punto-pendiente y a partir de ella operamos para obtener la forma general o pendiente-ordenada en el origen. La forma general es, por decirlo de algún modo, una forma elegante de presentar la recta. La forma pendiente-ordenada en el origen permite visualizar de manera directa dos características de la recta: la medida de su inclinación y la intersección con el eje Y. Estas características facilitan la representación mental de la gráfica de la recta.

Ejemplo 2

Encuentre  la  ecuación general  de la recta  que pasa  por  los  puntos P(2,3)  y  Q(-1,5) .

Resolución

Tenemos dos puntos datos: P(2,3) y Q(-1,5). Cualquiera de ellos puede tomarse como punto de paso.

Punto de paso: P(2,3)

La pendiente la calculamos a partir de la fórmula:

La ecuación de la recta será:  

Pendiente de una recta

Un concepto básico en la geometría es el de recta. Las graficas de ecuaciones lineales del tipo  y = mx + b   son líneas rectas. En estas ecuaciones el estudio del coeficiente "m" de la variable x resulta de especial interés. Este es llamado pendiente de la recta y es una medida del grado de inclinación de la recta. Si la pendiente es positiva (m>0) la recta se inclina hacia la derecha y si la pendiente es negativa (m<0) la recta se inclina hacia la izquierda.

Dados dos puntos cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) de una recta L no vertical (x1 diferente de x2), la pendiente de dicha recta se representa por "m" y se calcula a partir de:

Si consideramos el movimiento de un punto sobre una recta, la pendiente nos indica cuanto se desplazaría verticalmente (hacia arriba o abajo) dicho punto al desplazarse horizontalmente una unidad hacia la derecha.

Ejemplo 1

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,-5) y B(6,1).

Resolución

Por la fórmula de la pendiente:

Interpretación: Que la pendiente de la recta del ejemplo 1 haya resultado 3/2, es decir 1.5, significa que por cada unidad que se desplace horizontalmente un punto que siga la trayectoria de la recta L_AB este se desplazará verticalmente 1.5 unidades. O lo que es lo mismo, por cada 2 unidades que avancemos hacia la derecha subiremos 3 unidades.

Ejemplo 2

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-3,7) y Q(2,-1).

Resolución

Por la fórmula de la pendiente:

Interpretación: Un punto que siga la trayectoria de la recta L_PQ, por cada 5 unidades que avancemos hacia la derecha bajaremos 8 unidades.

Las rectas que se inclinan hacia la derecha o izquierda son llamadas rectas oblicuas. Una recta que no es oblicua puede tomar dos posiciones posibles: horizontal o vertical. Una recta horizontal es paralela al eje de abscisas, su inclinación es nula y por tanto decimos que su pendiente es igual a cero. Una recta vertical es paralela al eje de ordenadas, su inclinación es infinita y por tanto su pendiente es indefinida. Solo hablamos de pendiente en los casos de rectas no verticales.

Como señalamos anteriormente las graficas de ecuaciones lineales del tipo  y=mx+b  son líneas rectas. El coeficiente "m" representa la pendiente y el término independiente b es la ordenada en el origen. Recuerde que este representa el valor de la ordenada del punto donde la recta corta al eje Y. Si b>0  la recta corta al eje Y por encima del origen y si b<0  la recta corta al eje Y por debajo del origen. Si b=0 la recta pasa por el origen de coordenadas.