Análisis matemático: 1era práctica calificada

Hola chicos,

Tal como se les informó en clase, durante la semana del 28 de febrero al 04 de marzo tomaremos la primera práctica calificada.

Los contenidos de esta práctica comprenden:

- Pendiente de una recta

- Ecuación de la recta

- Grafica de una recta dada su ecuación

- Abscisa y ordenada en el origen 

- Puntos de corte de una recta con los ejes coordenados

- Punto de corte entre dos rectas

Se les recomienda revisar la teoría y los ejercicios desarrollados en las sesiones de clase.

Pueden complementar con lo descrito en otras entradas de este blog y la resolución de los ejercicios incluidos en el material adjunto.

Descargar material aquí EJERCICIOS

Análisis matemático: Ejercicios de ecuación de la recta

Descargar ejercicios aquí  RECTA

Ecuación de la recta

En la primera parte hemos estudiado como trazar la grafica de una ecuación. La ecuación se daba como dato y en el caso de las rectas era de la forma y=mx+b . En esta parte estudiaremos como llegar a dicha ecuación.

Para encontrar la ecuación de una recta necesitamos:

-      Un punto de paso de la recta

-      La pendiente de la recta

Conocidos estos elementos podemos construir la ecuación de la recta. La ecuación de la recta L cuya pendiente es "m" y que pasa por el punto Po(xo,yo) está dada por

A esta forma de ecuación de L se le conoce como ecuación punto-pendiente de la recta.

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la recta de pendiente 2/7 que pasa por el punto (3,-1).

Resolución

 

A partir de la forma punto-pendiente podemos presentar la recta en otras formas. Así por ejemplo operando la ecuación anterior tenemos:

Esta última forma de presentar la recta recibe el nombre de ecuación general de la recta. La ecuación de una recta está en su forma general cuando la presentamos igualada a cero. Si a partir del resultado anterior (o desde el inicio) buscamos despejar la variable y tenemos:

Si bien existen otras formas de presentar la recta las anteriores son las más comunes. Por lo general planteamos la ecuación punto-pendiente y a partir de ella operamos para obtener la forma general o pendiente-ordenada en el origen. La forma general es, por decirlo de algún modo, una forma elegante de presentar la recta. La forma pendiente-ordenada en el origen permite visualizar de manera directa dos características de la recta: la medida de su inclinación y la intersección con el eje Y. Estas características facilitan la representación mental de la gráfica de la recta.

Ejemplo 2

Encuentre  la  ecuación general  de la recta  que pasa  por  los  puntos P(2,3)  y  Q(-1,5) .

Resolución

Tenemos dos puntos datos: P(2,3) y Q(-1,5). Cualquiera de ellos puede tomarse como punto de paso.

Punto de paso: P(2,3)

La pendiente la calculamos a partir de la fórmula:

La ecuación de la recta será:  

Pendiente de una recta

Un concepto básico en la geometría es el de recta. Las graficas de ecuaciones lineales del tipo  y = mx + b   son líneas rectas. En estas ecuaciones el estudio del coeficiente "m" de la variable x resulta de especial interés. Este es llamado pendiente de la recta y es una medida del grado de inclinación de la recta. Si la pendiente es positiva (m>0) la recta se inclina hacia la derecha y si la pendiente es negativa (m<0) la recta se inclina hacia la izquierda.

Dados dos puntos cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) de una recta L no vertical (x1 diferente de x2), la pendiente de dicha recta se representa por "m" y se calcula a partir de:

Si consideramos el movimiento de un punto sobre una recta, la pendiente nos indica cuanto se desplazaría verticalmente (hacia arriba o abajo) dicho punto al desplazarse horizontalmente una unidad hacia la derecha.

Ejemplo 1

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,-5) y B(6,1).

Resolución

Por la fórmula de la pendiente:

Interpretación: Que la pendiente de la recta del ejemplo 1 haya resultado 3/2, es decir 1.5, significa que por cada unidad que se desplace horizontalmente un punto que siga la trayectoria de la recta L_AB este se desplazará verticalmente 1.5 unidades. O lo que es lo mismo, por cada 2 unidades que avancemos hacia la derecha subiremos 3 unidades.

Ejemplo 2

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-3,7) y Q(2,-1).

Resolución

Por la fórmula de la pendiente:

Interpretación: Un punto que siga la trayectoria de la recta L_PQ, por cada 5 unidades que avancemos hacia la derecha bajaremos 8 unidades.

Las rectas que se inclinan hacia la derecha o izquierda son llamadas rectas oblicuas. Una recta que no es oblicua puede tomar dos posiciones posibles: horizontal o vertical. Una recta horizontal es paralela al eje de abscisas, su inclinación es nula y por tanto decimos que su pendiente es igual a cero. Una recta vertical es paralela al eje de ordenadas, su inclinación es infinita y por tanto su pendiente es indefinida. Solo hablamos de pendiente en los casos de rectas no verticales.

Como señalamos anteriormente las graficas de ecuaciones lineales del tipo  y=mx+b  son líneas rectas. El coeficiente "m" representa la pendiente y el término independiente b es la ordenada en el origen. Recuerde que este representa el valor de la ordenada del punto donde la recta corta al eje Y. Si b>0  la recta corta al eje Y por encima del origen y si b<0  la recta corta al eje Y por debajo del origen. Si b=0 la recta pasa por el origen de coordenadas. 

Matemática Básica: Fracciones

Hola chicos,
En esta entrada les adjunto algunos ejercicios del tema de fracciones.
Descargar ejercicios aquí FRACCIONES
También les dejo algunos links de interés:

Método de amplificación para la suma y/o resta de fracciones heterogéneas:
http://www.youtube.com/watch?v=5vf9lOgKuXI

Simplificación de fracciones
http://www.youtube.com/watch?v=zYetGITCkiQ

Método de descomposición para hallar el mínimo común múltiplo
http://www.youtube.com/watch?v=OsaX_IbhxNg&feature=related

Practiquemos fracciones
http://ntic.educacion.es/w3//recursos/primaria/matematicas/fracciones/menu.html

Análisis matemático: Tarea 1

1.       Trazar, en un mismo plano cartesiano, la gráfica de las siguientes ecuaciones:

• 3x - 2y = 6
• y - 2x = 4
• y = 5 - x
• 2x + y = -1

2.       Grafique la ecuación 4x+3y=12, y encuentre:
          a. La ordenada en el origen
          b. La abscisa en el origen
          c. Las coordenadas de los puntos de corte de dicha grafica con los ejes cartesianos.

Esta tarea deberá ser presentada en una hoja aparte en la siguiente sesión de clase.

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NOTA: Puede encontrar la explicación de estos conceptos en la entrada ABSCISA Y ORDENADA EN EL ORIGEN de este blog

Grafica de ecuaciones

Un concepto importante en las matemáticas es el de variable. Decimos que algo es variable cuando su valor cambia a través del tiempo. La edad de una persona y el número de habitantes de la ciudad de Lima son dos ejemplos de variables. Con frecuencia se utilizan graficas para mostrar el comportamiento de una variable a través de distintos periodos. Así por ejemplo la gráfica presentada muestra la variación de la cotización del precio de la onza de oro en un periodo de cinco días[1]. Esta forma de presentación se convierte en un recurso visual que, por lo general, revela el comportamiento de las variables con mayor facilidad que una tabla de valores numéricos. Dos variables se pueden relacionar mediante una ecuación o fórmula que las ligue. Al representar en forma geométrica dicha ecuación podemos observar propiedades de las variables que no resultan evidentes con la sola presentación de la ecuación.

Para graficar una ecuación que relacione las variables x e y, es necesario encontrar todos los pares ordenados de la forma (a, b) tales que x=a  e  y=b son soluciones de la ecuación dada. Decimos que x=a  e  y=b son soluciones de una ecuación en las variables x e y, si al ser reemplazadas en dicha ecuación se mantiene la igualdad. A cada par ordenado (a, b), solución de la ecuación, le asociamos un punto P(a, b) del plano cartesiano. Al conjunto de todos los puntos-solución de una ecuación dada se le llama gráfica de la ecuación.

Aunque no siempre ocurre, al trazar la gráfica de una ecuación resulta de interés encontrar las coordenadas de los puntos donde dicha gráfica corta a los ejes coordenados. Se denomina abscisa en el origen a la coordenada x de los puntos donde la gráfica de la ecuación interseca al eje X. Para calcular la abscisa en el origen debemos reemplazar  y=0 en la ecuación dada y despejar la variable x. Se denomina ordenada en el origen a la coordenada y de los puntos donde la gráfica de la ecuación interseca al eje Y. Para calcular la ordenada en el origen debemos reemplazar x=0 en la ecuación dada y despejar la variable y.

Para graficar ecuaciones sencillas bastará con localizar algunos puntos-solución de las mismas. Estos puntos se pueden determinar por tanteo o tabulación, para ello se recomienda construir una tabla de doble entrada donde se presenten algunos de los valores de x e y que satisfacen la ecuación dada. Cuando se trata de ecuaciones complejas, el tanteo o tabulación aporta poca información para la gráfica de la ecuación. En estos casos se deben aplicar métodos de cálculo, usar una calculadora gráfica o un programa para trazar gráficas por computadora.

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[1] Tomado de  http://www.preciooro.com/ el 04/09/10

Sistema Cartesiano

Un sistema bidimensional de coordenadas es usado para asociar pares ordenados de números reales con los puntos de un plano. Si en un plano consideramos dos ejes perpendiculares, uno de ellos horizontal y el otro vertical, habremos introducido un Sistema bidimensional de Coordenadas Rectangulares. Todo punto “P” del plano quedará determinado a partir de sus distancias a los ejes coordenados correspondiéndole un par ordenado de números reales a los que llamaremos coordenadas. La primera coordenada del punto “P” está dada por su distancia dirigida al eje vertical. La segunda coordenada del punto “P” está dada por su distancia dirigida al eje horizontal. La posición de “P” en el plano quedará indicada expresando sus coordenadas entre paréntesis.

Un sistema bidimensional de coordenadas rectangulares es también llamado sistema cartesiano y al plano correspondiente plano cartesiano. El nombre es debido al filósofo matemático francés René Descartes quien, junto con Pierre Fermat, sentó las bases de la geometría analítica, la cual constituye un punto de apoyo del análisis matemático. En un sistema cartesiano el eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y el vertical eje Y o eje de las ordenadas. Los ejes coordenados al cortarse determinan en el plano cuatro regiones. Las regiones son llamadas cuadrantes y el punto de corte origen de coordenadas. Frecuentemente se presentan los ejes con una graduación que facilitan ubicar puntos en el plano cartesiano dadas sus coordenadas rectangulares.

Representaremos un punto P del plano cartesiano, cuyas coordenadas son (x, y), como P(x, y). La coordenada x, o abscisa del punto, es la coordenada que indica la dirección y distancia del punto P hacia la derecha o izquierda del eje Y; la coordenada y, u ordenada del punto, es la coordenada que indica la dirección y distancia del punto P hacia arriba o abajo del eje X.

Localizar un punto cuando se dan sus coordenadas cartesianas se llama graficar el punto. Este punto se representa por una pequeña marca en forma de punto en la posición que corresponden a sus coordenadas.

Descargar archivo SISTEMA CARTESIANO

Calculadora

Aquí les indico el modelo de la calculadora que recomiendo adquirir:

CASIO fx-570ES PLUS

Ejercicios de conjuntos numéricos

En esta entrada adjunto ejercicios correspondientes al tema de conjuntos numéricos para que puedan prácticar y complementar lo trabajado en clase.
Pueden descargar el documento aquí CONJUNTOS NUMÉRICOS

Regla de los signos

Para la adición

Si los signos son iguales, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

Si los signos son diferentes, se restan los valores absolutos (mayor menos menor) y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

Para la multiplicación

Si los signos son iguales, el producto tendrá signo positivo.

Si los signos son diferentes, el producto tendrá signo negativo.

Para la potenciación

Si el exponente es par, la potencia tendrá signo positivo.

Si el exponente es impar, la potencia tendrá el mismo signo que la base.